Pravděpodobnost a statistika, aritmetický průměr, koeficient růstu, harmonický průměr, geometrický průměr, variace s opakováním, variace bez opakování, permutace, kombinace bez opakování, kombinace s opakováním, hodnota t pro systematickou odchylku od požadované hmotnosti, vyrovnání časové řady teoretickými hodnotami přímky.
Přál bych vám, abyste si statistiku oblíbili.
Příklad 1
Aritmetický průměr
Maminka koupila jogurt za 7 Kč, deset rohlíků za 1 Kč a kus sýra za 15 Kč. Vypočteme, kolik Kč stál jeden výrobek.
Výrobek Cena za kus Počet kusů Cena v Kč * počet kusů
jogurt 7 Kč 1 7
rohlíky 1 Kč 10 10
kus sýra 15 Kč 1 15
Počet výrobků je 1 + 10 + 1 = 12.
(7 + 1 * 10 + 15) / 12 = 32 / 12 = 8 / 3 = 2,67 Kč
Příklad 2
Koeficient růstu
Předloni byla výše mého ročního platu 200000 Kč, loni 220000 Kč. Jaký byl koeficient růstu mého platu?
koeficient růstu = 220000 / (200000 * 100) = 1,1 * 100 = 110 % = 1,1
Příklad 3
Harmonický průměr
Máme stroj, který vyrobí jeden výrobek za 20 sekund, druhý, který vyrobí jeden výrobek za 30 sekund a třetí stroj, který vyrobí jeden výrobek za 6 sekund. Vypočtěme průměrnou rychlost výroby.
1. stroj 20 sekund 1/3 minuty
2. stroj 30 sekund 1/2 minuty
3. stroj 6 sekund 1/10 minuty
3 / [1 / (1 / 3) + 1 / (1 / 2) + 1 / (1 / 10)] = 3 / (3 + 2 + 10) = 3 / 15 = 1 / 5 = 12 sekund
Abychom vyrobili více výrobků, abychom byli rychlejší, než 5 výrobků za minutu, potřebujeme více prvních a druhých strojů.
Příklad 4
Geometrický průměr
Přírůstek maximálního denního kurzu akcií Českého Telecomu v RM-Systému ze 16. na 17. ledna 2006 byl 1,10777 %, ze 17. na 18. ledna 2006 -0,79852 % a z 18. na 19. ledna 2006 1,08573 %. Jaký byl průměrný denní přírůstek maximální ceny 1 akcie v RM-Systému v těchto třech obdobích?
Průměrný denní přírůstek maximální ceny akcií Českého Telecomu v RM-Systému v % a relativní (od 17. do 18. ledna 2006 je přírůstek 100 % -0,79852 % = 99,20148 % = 0,9920148):
Období v % relativní
od 16.1. do 17.1. 1,10777 1,0110777
od 17.1. do 18.1. -0,79852 0,9920148
od 18.1. do 19.1. 1,08573 1,0108573
3. odmocnina z (1,0110777 * 0,9920148 * 1,0108573) = 3. odmocnina z 1,013893958 = 1,004610034 = 0,4610034 %
Průměrný přírůstek maximální ceny akcií Českého Telecomu za tyto tři dni byl 0,46 %.
Příklad 5
Variace s opakováním
Telefonní číslo se skládá ze třech číslic, je trojmístné. Kolik telefonních čísel můžeme sestavit, když na prvním místě nemůže být nula?
V´(3) - V´(2) = 10 na 3. - 10 na 2. = 10 na 2. * 9 = 1000 - 100 = 100 * 9 = 900 čísel
Příklad 6
Variace bez opakování
Kolik můžeme vytvořit dvojic čísel z číslic 1, 2, 3 tak, aby se žádné číslo neskládalo ze dvou stejných číslic?
V2(3) = 3 * (3 - 1) = 3 * 2 = 6 čísel
Příklad 7
Permutace
Kolika způsoby lze na třímístnou lavičku posadit 3 paní, z nichž 2 nechtějí sedět vedle sebe?
P(3) - 2 * P(2) = 3 * 2 * 1 - 2 * 2 * 1 = 6 - 2 * 2 = 6 - 4 = 2 způsoby
Příklad 8
Kombinace bez opakování
Kolika způsoby můžeme vybrat dvoučlennou delegaci ze 12 žáků třídy?
C2(12) = 12 nad 2 = 12! / [(12 - 2)! * 2!] = (12 * 11 * 10!) / (10! * 2!) = (12 * 11) / (2 * 1) = 66 způsoby
Příklad 9
Kombinace s opakováním
Jsou 4 různé bonbony. Kolika způsoby je lze rozdělit mezi 3 děti?
C´4(3) = (4 + 3 - 1) nad 4 = 6 nad 4 = (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (4 * 3 * 2 * 1 * 2 * 1) = (6 * 5) / (2 * 1) = 30 / 2 = 15 způsoby
Příklad 10
Hodnota t pro systematickou odchylku od požadované hmotnosti
Balicí stroj balí rýži do balíčků, které mají vážit jeden kilogram. Vedoucí odebere 3 balíčky a zjišťuje jejich hmotnost. Mají hmotnost 999 g, 1000 g a 1002 g. Má balicí stroj systematickou odychylku od požadované hmotnosti?
počet balíčků n = 3
odchylka od správné hmotnosti, kterou mají mít balíčky, střední odchylka mí, se má rovnat 0, aby stroj pracoval přesně
průměrná odchylka od přesné hmotnosti x je (0 + 2 - 1) / 3 = 0,33
rozptyl s na 2. je [0 na 2. + 2 na 2. + (-1) na 2. - 3 * (0,33 na 2.)] / (3 - 1) = (0 + 4 + 1 - 3 * 0,1089) / 2 = (5 - 0,3267) / 2 = 2,33665
směrodatná odchylka s = odmocnina z 2,33665 = 1,5286
testová charakteristika T = (odmocnina z 3) * (0,33 - 0) / 1,5286 = (1,7321 * 0,33) / 1,5286 = 0,5716 / 1,5286 = 0,3739
tabulková hodnota t o 3 - 1 stupních volnosti pro 90% pravděpodobnost t2(0,10) = 2,920
Protože 0,3739 je menší než 2,920, není prokázáno, že stroj má systematickou odchylku od hmotnosti 1000 g.
Příklad 11
Vyrovnání časové řady teoretickými hodnotami přímky
Vyrovnejte teoretickými hodnotami lineární funkce časovou řadu o těžbě suroviny v letech 1991 až 2000. Empirické hodnoty jsou v tabulce 1.
Rok x k k * x k na 2. y
1991 10,6 -5 -53 25 9,89
1992 11,7 -4 -46,8 16 11,02
1993 12,8 -3 -38,4 9 12,15
1994 13,9 -2 -27,8 4 13,29
1995 15 -1 -15 1 14,42
1996 16,1 1 16,1 1 16,68
1997 17,2 2 34,4 4 17,81
1998 18,3 3 54,9 9 18,95
1999 19,4 4 77,6 16 20,08
2000 20,5 5 122,5 25 21,21
Suma 155,5 0 124,5 11 154,3
155,5 = 154,3
Teoretické hodnoty jsou v tabulce 1. V prvním sloupečku je 10 roků, ve druhém známé hodnoty o množství vytěžené suroviny v tunách, ve třetím pomocná hodnota (pro lichý počet hodnot znaku je pro prostřední hodnotu znaku hodnota 0), ve čtvrtém je skutečná těžba násobená pomocnou hodnotou, v pátém pomocná hodnota na druhou a v šestém je teoretická hodnota proložené přímky.
Parametr a = 155,5 / 10 = 15,55,
parametr b = 124,5 / 110 = 1,132,
rovnice přímky proložená skutečnými hodnotami je y = 15,5 + 1,132 * k. k je ve třetím sloupečku, y se vypočtené s každým k z příslušného řádku píše do šestého sloupečku. Například:
y(1991) = 15,55 + 1,132 * (-5) = 9,89
y(1992) = 15,55 + 1,132 * (-4) = 11,02
Napsal jsem také www.karlovy-vary-mesto-lazne-a-historie.websnadno.cz o Karlových Varech, www.vyresene-priklady-z-fyziky.websnadno.cz o fyzice, www.jak-jsem-hubnul.websnadno.cz o hubnutí, www.pribehy-o-geologickych-vyletech-2.websnadno.cz o geologii, http://www.fotky-porostu-rostlin-temer-jednoho.websnadno.cz/ o botanice, www.krasa-a-prakticnost.websnadno.cz o estetice a www.rychla-dietni-jidla-za-par-korun.websnadno.cz o vaření. Frantisek.Kovarna@seznam.cz
Mapa stránek